Đề bài

Với \(\alpha  < \beta  < {90^o}\), hãy chứng minh rằng: a) \(\cos \alpha  > \cos \beta \) (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4,15); b) \(\sin \alpha  < \sin \beta \) (HD. Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)).

Lời giải chi tiết

Theo ví dụ 5 ta có: khi cho số đo góc nhọn \(\alpha \) tăng lên thì tan\(\alpha \) tăng lên, tức là \(\alpha  < \beta  < {90^o}\) thì \(\tan \alpha  < \tan \beta \). a) Nếu \(\alpha  < \beta  < {90^o}\) thì \({\tan ^2}\alpha  < {\tan ^2}\beta \). Do đó, \(1 + {\tan ^2}\alpha  < 1 + {\tan ^2}\beta \). Suy ra \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} < \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta }}\). Do đó, \({\cos ^2}\alpha  > {\cos ^2}\beta \). Vậy \(\cos \alpha  > \cos \beta \). b) Theo a ta có: \({\cos ^2}\alpha  > {\cos ^2}\beta \) nên \(1 - {\cos ^2}\alpha  < 1 - {\cos ^2}\beta \). Suy ra \({\sin ^2}\alpha  < {\sin ^2}\beta \). Vậy \(\sin \alpha  < \sin \beta \).