Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\). (HD: ta có \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \frac{{AH}}{{AC}},\cos B = \sin C\) và áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc nhọn \(\alpha \)).

Lời giải chi tiết

Tam giác ABH vuông tại H nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\), do đó, \(\frac{1}{{AB}} = \frac{{\sin B}}{{AH}}\), suy ra \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}\). Tam giác AHC vuông tại H nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\), do đó \(\frac{1}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AH}}\), suy ra \(\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}\). Vì B và C là hai góc phụ nhau nên \(\cos B = \sin C\), suy ra \({\cos ^2}B = {\sin ^2}C\). Ta có: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)