Đề bài

Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có: a) \({13^n} - 1\) chia hết cho 6. b) \({4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết

a) Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({13^1} - 1 = 12\) chia hết cho 6. Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\). Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k + 1, tức là: \({13^{k + 1}} - 1\) chia hết cho 6. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: \({13^k} - 1\) chia hết cho 6. Cần chứng minh mệnh đề trên đúng với k + 1. Ta có: \({13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = 13.\underbrace {\left( {{{13}^k} - 1} \right)}_{ \vdots 6} + \underbrace {12}_{ \vdots 6}\) chia hết cho 6. Vậy mệnh đề đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). b) Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \({4^1} + 15.1 - 1 = 18\) chia hết cho 9. Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\). Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k + 1, tức là: \({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1\) chia hết cho 9. Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: \({4^k} + 15k - 1\) chia hết cho 9. Cần chứng minh mệnh đề trên đúng với k + 1. Ta có: \({4^{k + 1}} + 15.(k + 1) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\underbrace {\left( {{4^k} + 15k - 1} \right)}_{ \vdots 9} - \underbrace {45k}_{ \vdots 9} + \underbrace {18}_{ \vdots 9}\) chia hết cho 9. Vậy mệnh đề đúng với k + 1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).