Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\); b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\).

Lời giải chi tiết

a) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). 2. Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: Đạo hàm \(y' =  - \frac{1}{{{x^2}}}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \ne 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). • Tiệm cận: Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) =  + \infty \) Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\) Vậy \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. • Bảng biến thiên:

3. Đồ thị Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{3};0} \right)\), đồ thị hàm số không có giao điểm với trục \(Oy\). Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( {0;3} \right)\). b) \(y = 2 - \frac{1}{{1 + x}}\) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). 2. Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: Đạo hàm \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\). Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). • Tiệm cận: Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) =  - \infty \) Vậy \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\) Vậy \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. • Bảng biến thiên:

3. Đồ thị Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\), số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0;1} \right)\). Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).