Đề bài

Tìm hai số u và v, biết: a) \(u + v = 17,uv = 72\); b) \({u^2} + {v^2} = 73,uv = 24\).

Lời giải chi tiết

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 17x + 72 = 0\) Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 17} \right)^2} - 4.1.72 = 1 > 0,\sqrt \Delta   = 1\) Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{17 + 1}}{2} = 9;{x_2} = \frac{{17 - 1}}{2} = 8\).

Vậy \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)\) hoặc \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)\).

b) Ta có: \({u^2} + {v^2} = 73\) nên \({u^2} + 2uv + {v^2} - 2uv = 73\), suy ra \({\left( {u + v} \right)^2} - 2.24 = 73\), suy ra \({\left( {u + v} \right)^2} = 121\). Do đó, \(u + v = 11\) hoặc \(u + v =  - 11\). TH1: \(u + v = 11\), \(uv = 24\) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 11x + 24 = 0\). Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.24 = 25\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{11 + \sqrt {25} }}{2} = 8;{x_2} = \frac{{11 - \sqrt {25} }}{2} = 3\) TH2: \(u + v =  - 11\), \(uv = 24\) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 11x + 24 = 0\). Vì \(\Delta  = {11^2} - 4.1.24 = 25\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{2} =  - 3;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{2} =  - 8\)

Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {8;3} \right);\left( {3;8} \right);\left( { - 8; - 3} \right);\left( { - 3; - 8} \right)} \right\}\).