Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), biết \(AB = a\), \(SA = a\sqrt 6 \). a) Tính tang góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). b) Tính sin góc giữa đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(AC\) thì \(BM \bot AC \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SM\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).Khi đó \(\left( {\widehat {SB,\left( {SAC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,SM}} \right) = \widehat {BSM}\).Tam giác \(SBM\) vuông tại \(M\) có \(BM = AM = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {26} }}{2}\)Do đó \(\tan \widehat {BSM} = \frac{{BM}}{{SM}} = \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).b) Trong mp\(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) thì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) (vì \(AH \bot SB,AH \bot BC\)).Khi đó \(HC\) là hình chiếu vuông góc của \(AC\) lên mp\(\left( {SBC} \right)\).Suy ra \(\left( {\widehat {AC,\left( {SBC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {AC,HC}} \right) = \widehat {ACH}\).Mặt khác tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(AC = a\sqrt 2 \) và \(AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).Do đó \(\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).