Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC$. b) Đường thẳng QN cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng \(FB.FC = FQ.FN\). c) Trên đoạn HB lấy điểm I sao cho \(\widehat {AIC} = {90^0}\). Chứng minh rằng \(A{I^2} = AN.AC\). d) Trên đoạn HC lấy điểm K sao cho \(\widehat {AKB} = {90^0}\). Chứng minh rằng \(\Delta AIK\) cân.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh được $\Delta ANB\backsim \Delta AQC\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AN}}{{AQ}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\)Tam giác ANQ và tam giác ABC có:\(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\) và góc CAB chung nên $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC\left( c.g.c \right)$b) Vì $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC$ nên \(\widehat {AQN} = \widehat {NCF}\)Mà \(\widehat {AQN} = \widehat {FQB}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó, \(\widehat {FQB} = \widehat {FCN}\)Tam giác FQB và tam giác FCN có: \(\widehat {CFN}\;chung,\widehat {FQB} = \widehat {FCN}\left( {cmt} \right)\)Do đó, $\Delta FQB\backsim \Delta FCN\left( g.g \right)$. Suy ra \(\frac{{FQ}}{{FC}} = \frac{{FB}}{{FN}}\) , suy ra \(FB.FC = FQ.FN\)c) Chứng minh $\Delta ANI\backsim \Delta AIC\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{AN}}{{AI}} = \frac{{AI}}{{AC}}\), do đó, \(A{I^2} = AN.AC\)d) Chứng minh $\Delta AQK\backsim \Delta AKB\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AK}}\), do đó \(A{K^2} = AB.AQ\) mà \(AN.AC = AQ.AB\) (vì \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\)) và \(A{I^2} = AN.AC\) nên \(AI = AK\). Vậy \(\Delta AIK\) cân tại A.