Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. a) Chứng minh rằng \(A{B^2} = BH.BC\). b) Chứng minh rằng \(A{H^2} = BH.CH\). c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D \(\left( {AD < AC} \right)\). Đường thẳng qua H và song song với AC cắt AB, BD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng \(\frac{{MN}}{{MH}} = \frac{{AD}}{{AC}}\). d) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Chứng minh rằng \(\widehat {BEH} = \widehat {BAH}\).

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh được $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{AB}}\), do đó, \(A{B^2} = BH.BC\)b) Chứng minh được $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\), do đó \(A{H^2} = BH.CH\).c) Tam giác ABD có MN//AD nên \(\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BA}}\left( 1 \right)\)Tam giác ABC có MH//AC nên \(\frac{{MH}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{BA}}\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{MH}}{{AC}}\) hay \(\frac{{MN}}{{MH}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)d) Chứng minh được $\Delta ABD\backsim \Delta EBA\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{AB}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = BE.BD\)Mà \(A{B^2} = BH.BC\) nên \(BE.BD = BH.BC\), hay \(\frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{BE}}{{BC}}\)Xét tam giác BEH và tam giác BCD ta có: \(\frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{BE}}{{BC}}\) góc DBC chung. Do đó, $\Delta BEH\backsim \Delta BCD\left( c.g.c \right)$Suy ra \(\widehat {BEH} = \widehat {BCD}\). Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BCD}\) (cùng phụ với góc HAC). Vậy \(\widehat {BEH} = \widehat {BAH}\)