Đề bài

Ở Hình 1, cho biết AE = AF và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\). Chứng minh AH là đường trung trực của BC.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A do có 2 góc đáy bằng nhau\( \Rightarrow \)A cách đều 2 đều B, C\( \Rightarrow \) A thuộc trung trực đoạn thẳng BC (1) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)Xét \(\Delta \)AEC và \(\Delta \)AFB ta có :AE = AFGóc A chungAC = AB\( \Rightarrow \Delta AEC = \Delta AFB\)(c-g-c)\( \Rightarrow \widehat {ECA} = \widehat {FBA}\)(góc tương ứng)Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABF} + \widehat {FBC}\)           \(\widehat {ACB} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}\)Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)(giả thiết) và \(\widehat {ECA} = \widehat {FBA}\)(chứng minh trên)\( \Rightarrow \widehat {ECB} = \widehat {FBC}\)\( \Rightarrow \)\(\Delta \)HBC cân tại H do có 2 góc đáy bằng nhau\( \Rightarrow \) H cách đều BC \( \Rightarrow \) H thuộc trung trực BC (2) (Tính chất điểm cách đều 2 đầu mút đoạn thẳng)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) AH là trung trực của BC