Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM. a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân. b) Chứng minh rằng \(\widehat {EBH} = \widehat {ACM}\) c) Chứng minh rằng \(EB \bot BC\)

Lời giải chi tiết

a)Xét \(\Delta \)BHE và \(\Delta \)BHM có :BH là cạnh chungEH = HM (do M đối xứng E qua H)\(\widehat {BHE} = \widehat {BHM} = {90^o}\)\( \Rightarrow \)\(\Delta \)BHE = \(\Delta \)BHM (c-g-c)\( \Rightarrow \)BM = BE (cạnh tương ứng)và \(\widehat {EBH} = \widehat {MBH}\)(góc tương ứng) (1)\( \Rightarrow \)\(\Delta \)BEM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)b)Xét \(\Delta \)BHM vuông tại H \( \Rightarrow \widehat {BMH} + \widehat {MBH} = {90^o}\)Xét \(\Delta \)AMC vuông tại A \( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {MCA} = {90^o}\)Mà \(\widehat {HMB} = \widehat {AMC}\)(2 góc đối đỉnh)\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {MBH} = {90^o} - \widehat {AMC} = {90^o} - \widehat {HMB}\)(2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {ACM}\)c)Vì \(\widehat {BCM} = \widehat {ACM}\) (do CM là phân giác góc C)\( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {BCM}\)(cùng bằng \(\widehat {AMC}\)) (3)Xét \(\Delta \)EHB vuông tại H có \(\widehat {EBH} + \widehat {BEH} = {90^o}\)(4)Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {BCM} + \widehat {BEH} = {90^o}\) \( \Rightarrow \widehat {EBC} = {90^o} \Rightarrow EB \bot BC\)