Đề bài

Giải các phương trình sau: a) \(\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + 1 = \frac{1}{{x - 5}}\). b) \(2x - \frac{{2{x^2}}}{{x + 9}} = \frac{{4x}}{{x + 9}} + \frac{5}{9}\). c) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 4}}{{x - 1}} = 2\). d) \(\frac{{3x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + 1 = \frac{1}{{x - 5}}\).        (1) Điều kiện xác định của phương trình \(x \ne 5\). Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta được: \(\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + \frac{{x - 5}}{{x - 5}} = \frac{1}{{x - 5}}\). Sau khi bỏ mẫu, ta được phương trình: \(2x - 1 + x - 5 = 1\).      (1a) Giải phương trình (1a): \(\begin{array}{l}3x - 6 = 1\\3x = 7\\x = \frac{7}{3}.\end{array}\) Ta thấy \(x = \frac{7}{3}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (1). Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{7}{3}\). b) \(2x - \frac{{2{x^2}}}{{x + 9}} = \frac{{4x}}{{x + 9}} + \frac{5}{9}\).          (2) Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - 9\). Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được: \(\begin{array}{l}\frac{{18x\left( {x + 9} \right)}}{{9\left( {x + 9} \right)}} - \frac{{18{x^2}}}{{9\left( {x + 9} \right)}} = \frac{{36x}}{{9\left( {x + 9} \right)}} + \frac{{5\left( {x + 9} \right)}}{{9\left( {x + 9} \right)}}\\18{x^2} + 162x - 18{x^2} = 36x + 5x + 45\\162x - 36x - 5x = 45\\121x = 45\\x = \frac{{45}}{{121}}.\end{array}\) Ta thấy \(x = \frac{{45}}{{121}}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (2). Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{45}}{{121}}\). c) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 4}}{{x - 1}} = 2\).                 (3) Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 1\). Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được: \(\begin{array}{l}\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\{x^2} + 2x - 3 + {x^2} - 3x - 4 = 2{x^2} - 2\\ - x = 5\\x =  - 5.\end{array}\) Ta thấy \(x =  - 5\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (3). Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất \(x =  - 5\). d) \(\frac{{3x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\).                   (4) Điều kiện xác định của phương trình \(x \ne  - 5\) và \(x \ne \frac{3}{2}\). Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được: \(\begin{array}{l}\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\\6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 30x + x + 5\\ - 13x - 31x =  - 1\\ - 44x =  - 1\\x = \frac{1}{{44}}.\end{array}\) Ta thấy \(x = \frac{1}{{44}}\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (4). Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{{44}}\).