Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\) b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}\)

Lời giải chi tiết

a) - Tập xác định: \(D = R\backslash \{  - \frac{1}{2}\} \) - Sự biến thiên: Giới hạn, tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\) Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} = \frac{1}{2}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \infty \) Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho Ta có: \({y^\prime } = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0\forall x \in R\) Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị Tiệm cận đứng: \(x =  - \frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{2}\) Giao với trục Oy tại điểm (0,-2) Giao với trục Ox tại điểm (2,0)

b) - Tập xác định: \(D = R\backslash \{  - 2\} \) - Sự biến thiên: Giới hạn, tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - 1\) Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} =  - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - \infty \) Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} =  - 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - 10}}{{{{(2x + 4)}^2}}} < 0\forall x \in R\) Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị - Vẽ đồ thị Tiệm cận đứng: \(x =  - 2\) và tiệm cận ngang \(y =  - 1\) Giao với trục Oy tại điểm (0,\(\frac{1}{4}\)) Giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{1}{2}\),0)