Đề bài

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) \(x{e^x}\) và \((x - 1){e^x}\); b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(f(x) = (x - 1){e^x}\), ta tính đạo hàm: \(f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x - 1){e^x}] = {e^x} + (x - 1){e^x} = x{e^x}\) Vậy \((x - 1){e^x}\) là nguyên hàm của \(x{e^x}\). b) Xét \(f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x\), ta tính tích phân: \(f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}\) Vậy \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) là nguyên hàm của \(\ln x\).