Đề bài

Cho góc nhọn \(\alpha \). Biết rằng, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) sao cho \(\widehat B = \alpha \). a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) theo \(AB,BC,CA\). b) Chứng minh: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\); \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\); \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\); \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\). Từ đó, tính giá trị biểu thức: \(S = {\sin ^2}35^\circ  + {\cos ^2}35^\circ \); \(T = \tan 61^\circ .\cot 61^\circ \).

Lời giải chi tiết

a) \(\sin \alpha  = \frac{{AC}}{{BC}}\); \(\cos \alpha  = \frac{{AB}}{{BC}}\); \(\tan \alpha  = \frac{{AC}}{{AB}}\); \(\cot \alpha  = \frac{{AB}}{{AC}}\). b) Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\). \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}}.\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha \). \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha \). \(\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{AC}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{AC}} = 1\). \(S = {\sin ^2}35^\circ  + {\cos ^2}35^\circ  = 1\). \(T = \tan 61^\circ .\cot 61^\circ  = 1\).