Đề bài

Giải các phương trình sau: a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\) b) \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\) c) \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\) d) \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  =  - 5\)

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 9\\ \Rightarrow {x^2} + 3x - 8 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\) Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1}  = 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}\) và \(x = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}\) b) \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - x - 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - x - 4 = {x^2} + 4x + 4\\ \Rightarrow 5x =  - 8\\ \Rightarrow x =  - \frac{8}{5}\end{array}\) Thay \(x =  - \frac{8}{5}\) và phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = x + 2\) ta thấy thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - \frac{8}{5}\) c) \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {12 - 2x}  = x - 2\\ \Rightarrow 12 - 2x = {\left( {x - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow 12 - 2x = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow x =  - 2\) và \(x = 4\) Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(2 + \sqrt {12 - 2x}  = x\) thì thấy chỉ có \(x = 4\) thỏa mãn Vậy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình đã cho. d) Ta có biểu thức căn bậc hai luôn không âm nên \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \sqrt {2{x^2} - 3x - 10}  =  - 5\) (vô lí) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm