Hoạt động 1

Tập nghiệm của cặp phương trình sau có bằng nhau không? a) \({x^2} - x = 0\) và \(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\). b) \({x^2} - 1 = 0\) và \(1 - x = 0\).

Phương pháp giải:

Giải phương trình và so sánh hai tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) \({x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) \(\frac{{3x}}{{x - 4}} + x = 0\) (ĐK: \(x \ne 4\)) \( \Leftrightarrow \frac{{3x + x\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} = 0 \Leftrightarrow 3x + {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,({\rm{TM)}}\\x = 1\,{\rm{(TM)}}\end{array} \right.\) Vậy hai phương trình này có tập nghiệm bằng nhau là \(\left\{ {0;1} \right\}\). b)  \(\begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\\1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\) Vậy tập nghiệm của hai phương trình này không bằng nhau.

Luyện tập 1

Các cặp phương trình sau có tương đương không? Vì sao? a) \({x^2} = 4\) và \(\left| x \right| = 2\). b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) và \(3 - x = 0\).

Phương pháp giải:

Giải phương trình và so sánh tập nghiệm của hai phương trình.

Lời giải chi tiết:

a) \(\begin{array}{l}{x^2} = 4 \Leftrightarrow x \pm 2\\\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow x =  \pm 2\end{array}\) Vậy hai phương trình trên tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là \(\left\{ { - 2;2} \right\}\). b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0\) (ĐK: \(x \ge 4\)) \(\left( {x - 3} \right)\left( {1 + \sqrt {x - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\1 + \sqrt {x - 4}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {\rm{L}} \right)\\\sqrt {x - 4}  =  - 1\,\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\) \(3 - x = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy hai phương trình trên không tương đương vì chúng không có cùng tập nghiệm.

Luyện tập 2

Các phép biến đổi sau có đúng không? Vì sao? \(x - \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} = 2 - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} \Leftrightarrow x = 2\)

Phương pháp giải:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của một phương trình thì phép biến đổi đó đúng: cộng trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Lời giải chi tiết:

Phép biến đổi sau đúng vì ta cộng hai vế với cùng một biểu thức \(\frac{1}{{x - 2}}\) mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.