Đề bài

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 30 SGK Toán 12 Cánh diều

Khảo sát và sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) \(y =  - {x^3} + 3x - 2\); b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\).

Lời giải chi tiết

a) \(y =  - {x^3} + 3x - 2\). 1) TXĐ: \(\mathbb{R}\). 2) Sự biến thiên: Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \). Đạo hàm: \(y' =  - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = -1. Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;1), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực đại tại x = 1, \({y_{CD}} = 0\); hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, \({y_{CT}} =  - 4\). 3) Đồ thị:  - Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-2). - Giao điểm của đồ thị với trục hoành: Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = -2. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (1;0) và (-2;0). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;0), (0;-2), (1;0) và (-1;-4). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm (0;-2). Ta vẽ được đồ thị \(y =  - {x^3} + 3x - 2\) như hình:

b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\). 1) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). 2) Sự biến thiên: Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\). Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) và không có cực trị. 3) Đồ thị: - Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;1). - Giao điểm của đồ thị với trục hoành: Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\). Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (-1;0). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;0), (1;0) và (-2;-1). Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm (-1;0). Ta vẽ được đồ thị \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\) như hình: