HĐ 2

🍸a) Cho hình thang cân \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) (\(AB > CD\). Qua \(C\) vẽ đường thẳng song song với \(AD\) và cắt \(AB\) tại \(E\) (Hình 6a)

i) Tam giác \(CEB\) là tam giác gì? Vì sao?

ii) So sánh \(AD\) và \(BC\)

🍌b) Cho hình thang cân \(MNPQ\) có hai đáy là \(MN\) và \(PQ\) (Hình 6). So sánh \(MP\) và \(NQ\)

Phương pháp giải:

ܫSử dụng kiến thức về góc tạo bởi hai đường thẳng song song (góc đồng vị) và định nghĩa hình thang cân để chỉ ra \(\widehat {CEB} = \widehat {CBE}\) (do cùng bằng \(\widehat {{\rm{DAE}}}\))

Lời giải chi tiết:

a) i) \(ABCD\) là hình thang cân (gt)

💮\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\) (1) và \(DC\) // \(AE\)

Vì \(AD\;{\rm{//}}\;CE\) (gt)

꧒\(\widehat A = \widehat {CEB}\) (cặp góc đồng vị)  (2)

ౠTừ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {CEB} = \widehat B\)

Suy ra \(\Delta CEB\) là tam giác cân.

ii) \(\Delta CEB\) cân tại \(C\) (cmt)

Suy ra: \(CE = BC\) (3)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CED\) ta có:

♚\(\widehat {{\rm{ADE}}} = \widehat {{\rm{CED}}}\) (\(AD\)// \(CE\), cặp góc so le trong)

\(DE\) chung

ꦯ\(\widehat {{\rm{AED}}} = \widehat {{\rm{CDE}}}\) (\(CD\) // \(AB\), cặp góc so le trong)

Suy ra: \(\Delta ADE = \Delta CED\) (g-c-g)

Suy ra: \(AD = CE\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(AD = BC\)

✃b) Chứng minh tương tự như ý a) ta có: Hình thang cân \(MNPQ\) có hai cạnh bên \(MQ = NP\)

ꦯXét tam giác \(\Delta MQP\) và \(\Delta NPQ\) ta có:

\(MQ = NP\) (cmt)

💃\(\widehat {{\rm{MQP}}} = \widehat {{\rm{NPQ}}}\) (do \(MNPQ\) là hình thang cân)

\(PQ\) chung

Suy ra: \(\Delta MQP = \Delta NPQ\) (c-g-c)

\( \Rightarrow MP = NQ\) (hai cạnh tương ứng)

TH 2

𓆏Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân \(MNPQ\) có hai đáy \(MN\) và \(PQ\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Vì \(MNPQ\) là hình thang cân (gt)

Suy ra: \(MP = NQ\) và \(MQ = NP\)

VD 3

Phương pháp giải:

Kẻ đường cao \(BK\)

Lời giải chi tiết:

Kẻ đường cao \(BK\)

Suy ra \(AH = BK\) và \(AHKB\) là hình chữ nhật

Suy ra \(HK = AB = 1\)cm

Vì \(ABCD\) là hình thang cân (gt)

\( \Rightarrow AC = BD\) và \(AD = BC\)  (tc)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta BKC\) ta có:

༺\(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \) (gt)

🤡\(\widehat D = \widehat C\) (định nghĩa hình thang cân)

\(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)

Suy ra: \(\Delta AHD = \Delta BKC\) (ch – gn)

Suy ra \(DH = KC\) (hai cạnh tương ứng)

🌳Suy ra \(DH = KC = \frac{{CD - HK}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\) (cm)

Suy ra \(HC = 2\) (cm)

ജÁp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(AHD\) ta có:

\(A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} = {1^2} + {3^2} = 10\)

Suy ra \(AD = \sqrt {10} \) (cm)

꧅Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \(ACH\) ta có:

🅰\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {3^2} + {2^2} = 9 + 4 = 13\)

\(AC = \sqrt {13} \) (cm)

💝Vậy \(AC = BD = \sqrt {13} \)cm; \(AD = BC = \sqrt {10} \) cm