Bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (hoặc \(ax + b > 0\); \(ax + b \le 0\); \(ax + b \ge 0\)) trong đó a, b là hai số đã cho, \(a \ne 0\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Số \({x_0}\) là một nghiệm của bất phương trình \(A\left( x \right) < B\left( x \right)\) nếu \(A\left( {{x_0}} \right) < B\left( {{x_0}} \right)\) là khẳng định đúng.

Tương tự đối với \(A\left( x \right) > B\left( x \right);A\left( x \right) \le B\left( x \right);A\left( x \right) \ge B\left( x \right)\).

Bất phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b < 0\left( {a \ne 0} \right)\) được giải như sau:

\(\begin{array}{l}ax + b < 0\\ax <  - b\end{array}\)

- Nếu \(a > 0\) thì \(x < \frac{{ - b}}{a}\).

- Nếu \(a < 0\) thì \(x >  - \frac{b}{a}\).

Chú ý: ꧙Các bất phương trình \(ax + b > 0\), \(ax + b \le 0\), \(ax + b \ge 0\) được giải tương tự.

Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được về dạng \(ax + b < 0\), \(ax + b > 0\), \(ax + b \le 0\), \(ax + b \ge 0\).

Bất phương trình dạng đặc biệt: \(\frac{{x + a}}{b} + \frac{{x + c}}{d} < \frac{{x + e}}{f} + \frac{{x + g}}{h}\).

Cách giải bất phương trình bậc nhất biến đổi đặc biệt: - Nếu a + b = c + d = e + f = g + h = k. Ta cộng mỗi phân thức thêm 1. - Nếu a – b = c – d = e – f = g – h = k. Ta cộng mỗi phân thức thêm −1.

- Sau khi quy đồng từng phân thức, chuyến vế nhóm nhân tử chung đưa về dạng \(\left( {x - k} \right)\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{d} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h}} \right) < 0\).

Chú ý:

- Cần xét thêm \(\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{b} - \frac{1}{f} - \frac{1}{h}} \right)\) là số âm hay dương để đưa ra và đánh giá về dấu của \(\left( {x - k} \right)\). - Có thể mở rộng số phân thức nhiều hơn tuỳ bài toán ta sẽ cộng hoặc trừ đi hằng số thích hợp.