Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Học ngay
Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 7
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Phần trắc nghiệmĐề bài
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Góc có số đo \(\frac{\pi }{6}\) radian bằng bao nhiêu độ?
Câu 2 :
Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của \(\sin \alpha \) là?
Câu 3 :
Giá trị lượng giác \(\cos \left( {\frac{{37\pi }}{{12}}} \right)\) bằng?
Câu 4 :
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
Câu 5 :
Nghiệm của phương trình \(\cos x = 0\) là?
Câu 6 :
Số hạng thứ 3 của dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3}\end{array}} \right.\) là?
Câu 7 :
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
Câu 8 :
Cho dãy số có các số hạng đầu là \(0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\) Số hạng tổng quát của dãy số là:
Câu 9 :
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng?
Câu 10 :
Trong các hình sau, hình nào có thể là hình biểu diễn một hình tứ diện?
Câu 11 :
Số nghiệm của phương trình \(\sin 2x + \cos x = 0\) trên \([0;2\pi ]\) là
Câu 12 :
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_5} = - 10\) và \({u_{15}} = 60\). Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 : Cho phương trình lượng giác \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0\). Khi đó
a) 𝓀Phương trình tương đương \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\)
Đúng
Sai
b)ꦬ Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)
Đúng
Sai
c) ♎Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\)
Đúng
Sai
d) 🐬Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là hai nghiệm
Đúng
Sai
Câu 2 : Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó
a) \({\sin ^2}\alpha = \frac{{15}}{{16}}\)
Đúng
Sai
b) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
Đúng
Sai
c) \(\tan \alpha = \sqrt {15} \)
Đúng
Sai
d) ꧂\(\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)
Đúng
Sai
Câu 3 : Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = {2^n} + 1\). Khi đó
a)💯 Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng
Đúng
Sai
b) ꦦDãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn
Đúng
Sai
c) \({u_6} = 65\)
Đúng
Sai
d) ﷺSố hạng thứ n + 2 của dãy số là \({u_{n + 2}} = {2^n}.2\)
Đúng
Sai
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) qua BD và song song với SA. Khi đó
a) 🧜Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO
Đúng
Sai
b) SO thuộc mặt phẳng (SBD)
Đúng
Sai
c) 🍬Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA
Đúng
Sai
d)🍌 Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành
Đúng
Sai
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 : Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức \(h = 11 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(0 \le t \le 24\). Tính thời điểm mực nước tại cảng cao nhất.
Đáp án:
Câu 2 : Phương trình \(2\sin 2x + 4\cos x = 0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0;3000)?
Đáp án:
Câu 3 : Công ty cây xanh X trồng 496 cây hoa trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây hoa, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây hoa trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi công ty cây xanh X trồng được bao nhiêu hàng cây trong khu vườn hình tam giác đó.
Đáp án:
Câu 4 : Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = n + \frac{1}{n}\). Tìm m để dãy số \(({u_n})\) bị chặn dưới bởi m.
Đáp án:
Câu 5 : Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) cắt BD tại E, cắt BC tại F. Tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{EF}}\) (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Biết rằng AB = 3 cm, tính tổng MN + CD.
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Góc có số đo \(\frac{\pi }{6}\) radian bằng bao nhiêu độ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: \(1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^o}\), \({1^o} = \frac{\pi }{{180}}rad\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{\pi }{6}rad = \frac{\pi }{6}.\frac{{{{180}^o}}}{\pi } = {30^o}\).
Câu 2 :
Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Giá trị của \(\sin \alpha \) là?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \({\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}}\), suy ra \(\sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên điểm cuối của cung \(\alpha \) thuộc cung phần tư thứ III, do đó \(\sin \alpha < 0\).
Vậy \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
Câu 3 :
Giá trị lượng giác \(\cos \left( {\frac{{37\pi }}{{12}}} \right)\) bằng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức cộng lượng giác \(\cos (a - b) = \cos a.\cos b + \sin b.\sin a\).
Lời giải chi tiết :
\(\cos \frac{{37\pi }}{{12}} = \cos \left( {3\pi + \frac{\pi }{{12}}} \right) = \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \cos \frac{\pi }{{12}} = - \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( = - \left( {\cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}.\sin \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\).
Câu 4 :
Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi \(x \in K\) thì \( - x \in K\).
- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.
- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.
Lời giải chi tiết :
Xét phương án A, hàm số \(y = \left| {\sin x} \right|\) có tập xác định D = R, suy ra có \(x \in R\) thì \( - x \in R\).
Mặt khác, \(f( - x) = \left| {\sin ( - x)} \right| = \left| { - \sin x} \right| = \sin x = f(x)\).
Vậy hàm số đáp án A là hàm số chẵn.
Câu 5 :
Nghiệm của phương trình \(\cos x = 0\) là?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết :
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Câu 6 :
Số hạng thứ 3 của dãy số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3}\end{array}} \right.\) là?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm lần lượt \({u_2},{u_3}\) bằng cách thay n vào công thức tổng quát.
Lời giải chi tiết :
Ta có:
\({u_2} = 2{u_{2 - 1}} + 3 = 2{u_1} + 3 = 2.1 + 3 = 5\)
\({u_3} = 2{u_{3 - 1}} + 3 = 2{u_2} + 3 = 2.5 + 3 = 13\)
Câu 7 :
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số.
Lời giải chi tiết :
Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án C phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (8 – 6 = 6 – 4 = 4 – 2 = 2 – 0 = 2).
Câu 8 :
Cho dãy số có các số hạng đầu là \(0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\) Số hạng tổng quát của dãy số là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Viết các số hạng đầu của từng đáp án để kiểm tra.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(0 = \frac{0}{{0 + 1}}\); \(\frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}\); \(\frac{2}{3} = \frac{1}{{2 + 1}}\); \(\frac{3}{4} = \frac{3}{{3 + 1}}\); \(\frac{4}{5} = \frac{4}{{4 + 1}}\). Vậy
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\).
Câu 9 :
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dựa vào lý thuyết các xác định một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết :
Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua:
- Ba điểm không thẳng hàng
- Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 10 :
Trong các hình sau, hình nào có thể là hình biểu diễn một hình tứ diện?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tứ diện là hình có 4 mặt và 4 đỉnh.
Lời giải chi tiết :
Cả 4 hình đều là tứ diện (4 mặt và 4 đỉnh). Hình (I) và (III) có thể nhìn thấy 2 mặt. Hình (II) có thể nhìn thấy 1 mặt. Hình (IV) có thể nhìn thấy 3 mặt.
Câu 11 :
Số nghiệm của phương trình \(\sin 2x + \cos x = 0\) trên \([0;2\pi ]\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình trở thành dạng phương trình tích, đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết :
\(\sin 2x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x.(2\sin x + 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{2\sin x + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(x \in [0;2\pi ]\) nên chỉ có 4 nghiệm thỏa mãn: \(x = \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}\).
Câu 12 :
Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_5} = - 10\) và \({u_{15}} = 60\). Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tìm số hạng đầu và công sai dựa theo công thức \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
Từ đó tìm tổng 20 số hạng đầu tiên \({S_n} = \frac{{({u_1} + {u_n})n}}{2}\).
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_5} = {u_1} + 4d}\\{{u_{15}} = {u_1} + 14d}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 10 = {u_1} + 4d}\\{60 = {u_1} + 14d}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 38}\\{d = 7}\end{array}} \right.\)
Từ đó ta tính được \({u_{20}} = - 38 + (20 - 1)7 = 95\).
Vậy tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là \({S_{20}} = \frac{{({u_1} + {u_{20}}).20}}{2} = \frac{{( - 38 + 95).20}}{2} = 570\).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 : Cho phương trình lượng giác \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0\). Khi đó
a) ﷽Phương trình tương đương \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\)
Đúng
Sai
b)🎶 Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)
Đúng
Sai
c) ꦗPhương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\)
Đúng
Sai
d) ♏Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là hai nghiệm
Đúng
Sai
Đáp án
a) 🧔Phương trình tương đương \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\)
Đúng
Sai
b)𒁃 Phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)
Đúng
Sai
c) 🥃Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\)
Đúng
Sai
d) 🅷Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là hai nghiệm
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác \(\sin x = a\):
- Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì chọn cung \(\alpha \) sao cho \(\sin \alpha = a\). Khi đó phương trình trở thành:
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + k2\pi }\\{x = \pi - \alpha + k2\pi }\end{array}} \right.\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết :
\(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\)
a) Sai. \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\) b) Sai. Phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\). c) Đúng. + Xét họ nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \): Nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{\pi }{4}\) khi k = 0. + Xét họ nghiệm \(x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \): Nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{{7\pi }}{{12}}\) khi k = -1. Vì \( - \frac{\pi }{4} > - \frac{{7\pi }}{{12}}\) nên nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{\pi }{4}\).d) Đúng. + Xét họ nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \): \( - \pi < x < \pi \Leftrightarrow - \pi < - \frac{\pi }{4} + k2\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow - 1 < - \frac{1}{4} + 2k < 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} < 2k < \frac{5}{4} \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{5}{8}\). Vậy chỉ có k = 0 thỏa mãn. Khi đó \(x = - \frac{\pi }{4}\). + Xét họ nghiệm \(x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \): \( - \pi < x < \pi \Leftrightarrow - \pi < \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - 1 < \frac{{17}}{{12}} + 2k < 1\) \( \Leftrightarrow - \frac{{29}}{{12}} < 2k < - \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow - \frac{{29}}{{24}} < k < - \frac{5}{{24}}\). Vậy chỉ có k = -1 thỏa mãn. Khi đó \(x = - \frac{{7\pi }}{{12}}\). Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng \(( - \pi ;\pi )\) là \(x = - \frac{\pi }{4}\) và \(x = - \frac{{7\pi }}{{12}}\).
Câu 2 : Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó
a) \({\sin ^2}\alpha = \frac{{15}}{{16}}\)
Đúng
Sai
b) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
Đúng
Sai
c) \(\tan \alpha = \sqrt {15} \)
Đúng
Sai
d) 🥀\(\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)
Đúng
Sai
Đáp án
a) \({\sin ^2}\alpha = \frac{{15}}{{16}}\)
Đúng
Sai
b) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)
Đúng
Sai
c) \(\tan \alpha = \sqrt {15} \)
Đúng
Sai
d) ꧋\(\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.
b) Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cot \alpha }}\)
d) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\tan \alpha }}\)
Lời giải chi tiết :
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên điểm cuối của cung \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ III nên \(\sin \alpha < 0\). Vậy \(\sin \alpha = - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{1}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \sqrt {15} \); \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {15} }}\).
a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
Câu 3 : Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = {2^n} + 1\). Khi đó
a)💮 Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng
Đúng
Sai
b) 👍Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn
Đúng
Sai
c) \({u_6} = 65\)
Đúng
Sai
d) ▨Số hạng thứ n + 2 của dãy số là \({u_{n + 2}} = {2^n}.2\)
Đúng
Sai
Đáp án
a)🥀 Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng
Đúng
Sai
b) 𓂃Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn
Đúng
Sai
c) \({u_6} = 65\)
Đúng
Sai
d) ♓Số hạng thứ n + 2 của dãy số là \({u_{n + 2}} = {2^n}.2\)
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}\). Dãy số \(({u_n})\) là dãy số tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}\).
b) Dãy số \(({u_n})\) là dãy số bị chặn nếu \(({u_n})\) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M\) \(\forall n \in \mathbb{N}*\).
c) Tính \({u_6}\) bằng công thức \({u_n} = {2^n} + 1\).
d) Thay n + 2 vào n trong công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {2^n} + 1\).
Lời giải chi tiết :
a) Đúng. \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} + 1 - ({2^n} + 1) = {2^{n + 1}} - {2^n} = {2^n}(2 - 1) = {2^n} > 0\) với mọi n. Vậy dãy số là dãy tăng. b) Sai. Dãy không bị chặn trên vì không có giá trị M nào để \({2^n} < M\) với mọi n. Vậy dãy số không bị chặn. c) Đúng. \({u_6} = {2^6} + 1 = 64 + 1 = 65\). d) Sai. \({u_{n + 2}} = {2^{n + 2}} + 1 = {4.2^n} + 1\).
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) qua BD và song song với SA. Khi đó
a) 🦄Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO
Đúng
Sai
b) SO thuộc mặt phẳng (SBD)
Đúng
Sai
c) ꧟Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA
Đúng
Sai
d)༒ Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành
Đúng
Sai
Đáp án
a) 💮Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO
Đúng
Sai
b) SO thuộc mặt phẳng (SBD)
Đúng
Sai
c) 🍨Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA
Đúng
Sai
d)🔜 Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng các định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, cách tìm giao tuyến, thiết diện của hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết :
a) Sai. ꦬGiao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SA. b) Đúng.ꦡ SO thuộc mặt phẳng (SBD) vì cả \(S \in (SBD)\), \(O \in BD \subset (SBD)\). c) Đúng.💦 Có \(OI \subset (P)\) mà SA//(P) nên SA không cắt đường thẳng nào trong (P), tức OI//SA (do OI, SA cùng thuộc mặt phẳng (SAC)). d) Sai. Thiết diện là tam giác BID.
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 : Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức \(h = 11 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) với \(0 \le t \le 24\). Tính thời điểm mực nước tại cảng cao nhất.
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải :
Tìm t sao cho hàm số \(h = 11 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải chi tiết :
\(h = 11 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 6 + 24k\) (giờ).
Vì \(0 \le t \le 24\) nên chỉ có giá trị t = 6 thỏa mãn.
Vậy thời điểm mực nước tại cảng cao nhất là lúc 6 giờ.
Câu 2 : Phương trình \(2\sin 2x + 4\cos x = 0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0;3000)?
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải :
Giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về dạng phương trình tích. Xét họ nghiệm trong khoảng (0;3000) để tìm số giá trị k nguyên thỏa mãn.
Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2\sin 2x + 4\cos x = 0 \Rightarrow 4\sin x.\cos x + 4\cos x = 0 \Rightarrow 4\cos x.(\sin x + 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\sin x = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Xét họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), ta có:
\(0 < \frac{\pi }{2} + k\pi < 3000 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} < k\pi < 3000 - \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{{3000}}{\pi } - \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 0,5 < k < 954,43\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{ 0;1;2;3;...;954\} \), tức có 955 giá trị k thỏa mãn.
Vậy phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0;3000).
Câu 3 : Công ty cây xanh X trồng 496 cây hoa trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây hoa, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây hoa trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi công ty cây xanh X trồng được bao nhiêu hàng cây trong khu vườn hình tam giác đó.
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải :
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu \({u_1} = 1\) công sai d = 1. Tìm n.
Lời giải chi tiết :
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu \({u_1} = 1\) công sai d = 1.
Ta có: \(496 = \frac{{2.1 + (n - 1).1}}{2}.n \Leftrightarrow 992 = (2 + n - 1).n = {n^2} + n - 992 = 0\).
Ta tính được n = 31 hoặc n = -32 (loại).
Vậy số hàng cây trồng được là 31 hàng.
Câu 4 : Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = n + \frac{1}{n}\). Tìm m để dãy số \(({u_n})\) bị chặn dưới bởi m.
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải :
Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới tại \(m = {u_1}\).
Lời giải chi tiết :
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{n + 1}}\).
Ta có: \(n \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n} > 0\); \(n \ge 1 \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} > 0\).
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\), tức dãy số tăng.
Khi đó, dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = 1 + \frac{1}{1} = 2 = m\).
Câu 5 : Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) cắt BD tại E, cắt BC tại F. Tính tỉ số \(\frac{{IJ}}{{EF}}\) (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải :
Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.
Lời giải chi tiết :
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Biết rằng AB = 3 cm, tính tổng MN + CD.
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải :
- Định lý Thales.
- Quy tắc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Lời giải chi tiết :
|
