Đề bài

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + my = 5\end{array} \right.\). a) Giải hệ phương trình với \(m = 1\). b) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x, y đều là số nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Với \(m = 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + y = 5\end{array} \right.\) (I). Nhân hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ mới với 2 ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 2\\2x + y = 5\end{array} \right.\). Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới ta được: \(5y =  - 3\), suy ra \(y = \frac{{ - 3}}{5}\). Thay \(y = \frac{{ - 3}}{5}\) vào phương trình thứ nhất của hệ (I) ta có: \(x + 3.\frac{{ - 3}}{5} = 1\), suy ra \(x = \frac{{14}}{5}\). Vậy với \(m = 1\) thì hệ phương trình có nghiệm \(\left( {\frac{{14}}{5};\frac{{ - 3}}{5}} \right)\). b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + my = 5\end{array} \right.\) (*) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ với 2 ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 2\\2x + my = 5\end{array} \right.\). Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới ta được: \(\left( {m - 6} \right)y = 3\) (1) + Với \(m = 6\) thì phương trình (1) vô nghiệm. + Với \(m \ne 6\), phương trình (1) có nghiệm \(y = \frac{3}{{m - 6}}\). Thay \(y = \frac{3}{{m - 6}}\) vào phương trình thứ nhất trong hệ (*) ta có: \(x + \frac{9}{{m - 6}} = 1\), suy ra \(x = 1 - \frac{9}{{m - 6}}\). Để x, y đều là số nguyên thì \(m - 6\) là ước của 3, tức là \(m - 6 \in \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}\). Suy ra, \(m \in \left\{ {7;5;9;3} \right\}\). Thử lại các giá trị của m ta thấy các giá trị của m đều thỏa mãn bài toán. Vậy \(m \in \left\{ {7;5;9;3} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.