Đề bài

Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị của hàm số \(y =  - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\) có tâm đối xứng nằm trên trục \(Ox\)? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Lời giải chi tiết

\(y'=-3{{x}^{2}}-6x+m;y''=-6x-6;y''=0\Leftrightarrow x=-1\) Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số có tung độ \(y =  - {\left( { - 1} \right)^3} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + 1 =  - m - 1\). \(I\) nằm trên trục \(Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow  - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\). Khi \(m =  - 1\), hàm số có dạng \(y =  - {x^3} - 3{x^2} - x + 1\). Khi đó \(y' =  - 3{x^2} - 6x - 1\). Phương trình \(y' = 0\) có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 6 > 0\). Do đó phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua \(I\left( { - 1;0} \right)\). Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt.