Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \(BE \bot AN\)(E ∈ AN). a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN. b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA. c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân. 

Lời giải chi tiết

a)      Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BNE\) có :BA = BN (giả thiết)BF cạnh chung\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)\( \Rightarrow \Delta BAE = \Delta BNE\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)\( \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {NBF}\)(góc tương ứng)\( \Rightarrow \) BE là phân giác của góc ABNb)      Vì K là giao của 2 đường cao \( \Rightarrow \)K là trực tâm tam giác ABN\( \Rightarrow \) KN vuông góc với AB(1)Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)c)      Ta có \(\Delta BAF = \Delta BNF(c - g - c)\)do có :\(\widehat {BEA} = \widehat {BEN}\)BF cạnh chungBN = BA\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF}\) (2 góc tương ứng).Mà \(\widehat {BAF} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF} = {90^o}\)\( \Rightarrow GN \bot BC\)Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC\( \Rightarrow \)F là trực tâm của tam giác GBC\( \Rightarrow \)BF vuông góc với GC tại PXét \(\Delta BGP\) và \(\Delta BCP\) ta có : BP cạnh chung\(\widehat {BPC} = \widehat {BPG} = {90^o}\)\(\widehat {PBC} = \widehat {PBG}\)\( \Rightarrow \Delta BGP = \Delta BCP(c - g - c)\)\( \Rightarrow BC = BG\)(2 cạnh tương ứng)\( \Rightarrow \)Tam giác GBC cân tại B