Đề bài

Cho hình thang cân \(ABCD\) có \(AB//CD,\widehat D = 45^\circ \). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(CD\) tại \(H\). Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(HE = DH\). a)     Chứng minh tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành. b)    Đường thẳng qua \(D\) song song với \(AE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Tứ giác \(ADFE\) là hình gì? Vì sao? c)     Tìm điều kiện của hình thang cân \(ABCD\) để \(E\) là trung điểm của \(BF\) (bỏ qua giả thiết \(\widehat D = 45^\circ \)).

Lời giải chi tiết

a)     \(\Delta ADH = \Delta AEH\) (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrrow \Delta ADE\) cân tại A. \( \Rightarrow \widehat{ADE} = widehat{AED} = 45^0\) Mà \(ABCD\) là hình thang cân nên \widehat{ADE} = widehat{C}\) \(\Rightarrow \widehat{C} = widehat{AED} = 45^0\). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra AE // BC Xét tứ giác \(ABCE\), ta có: \(AE//BC\) Vì \(AD = AE\) mà \(AD = BC\) nên \(AE = BC\) Vậy tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành. b)    Xét tam giác \(AHE\) và \(FHD\), ta có: \(\widehat {AEH} = \widehat {FDH}\) (so le trong); \(\widehat {AHE} = \widehat {FHD} = 90^\circ \); \(DH = HE\) Suy ra \(\Delta AHE = \Delta DHD\) (g.c.g) Suy ra \(AH = HF\) Xét tứ giác \(ADEF\), ta có: \(HD = HE;HA = HF\) Mà \(AF \bot DE\) Suy ra tứ giác \(ADEF\) là hình thoi. c)     Để \(E\) là trung điểm của \(BF\) thì \(BE = FE\) và ba điểm \(B,E,F\) thẳng hàng. Khi bỏ qua giả thiết \(\widehat {ADC} = 45^\circ \) thì ta chứng minh được tứ giác \(ADEF\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(ADEF\) là hình bình hành. Do \(ABCE\) và \(ADEF\) đều là hình bình hành nên \(AE = BC,AE//BC\) và \(AE = DF.AE//DF\) Suy ra \(BC = DF\) và \(BC//DF\) Tứ giác \(BCFD\) có \(BC = DF\) và \(BC//DF\) nên \(BCFD\) là hình bình hành. Mà \(E\) là trung điểm của \(BF\), suy ra \(E\) là trung điểm của \(CD\) hay \(EC = ED = \frac{1}{2}CD\). Mặt khác, \(AB = EC\) (vì \(ABCE\) là hình bình hành), suy ra \(AB = \frac{1}{2}CD\) Dễ thấy nếu hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có \(AB = \frac{1}{2}CD\) thì \(E\) là trung điểm của \(BF\). Vậy điều kiện của hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) để \(E\) là trung điểm của \(BF\) là \(AB = \frac{1}{2}CD\).