Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\) a)     Chứng minh tứ giác \(MBND\) là hình bình hành. b)    Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN,Q\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Chứng minh tứ giác \(PMQN\) là hình chữ nhật. c)     Tìm điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để tứ giác \(PMQN\) là hình vuông. d)    Tính diện tích của tứ giác \(PMQN\), biết \(AB = 2cm,\widehat {MAD} = 30^\circ \).

Lời giải chi tiết

a)     Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(BC//AD\) và \(BC = AD\)Mà \(M \in BC,N \in AD\) nên \(MB//ND\)Lại có \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,AD\) nên \(MB = MC = \frac{{12}}{{}}BC,NA = ND = \frac{1}{2}A\)Do đó \(MB = MC = NA = ND\)Tứ goác \(MBND\) có \(MB//ND\) và \(MB = ND\) nên là hình bình hành.b)    Tương tự câu a, ta chứng minh được \(MANC\) là hình bình hành.Do \(MBND,MANC\) đều là hình bình hành nên \(PN//MQ,PM//NQ\). Suy ra tứ giác \(PMQN\) là hình bình hành.\(\Delta ABN = \Delta MBN\) (c.g.c). Suy ra \(AB = MN\).Tứ giác \(ABMN\) có \(AB = BM - MN = AN\) nên \(ABMN\) là hình thoi. Suy ra \(AM \bot Bn\)Hình bình hành \(PMQN\) có \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) nên \(PMQN\) là hình chữ nhật.c)     Để hình chữ nhật \(PMQN\) là hình vuông thì \(PM = PN\).Mà \(ABMN\) là hình thoi nên \(ABMN\) là hình bình hành. Suy ra \(AM,BN\) cắt nhau tại trung điểm \(P\) của mỗi đường. mà \(PM = PN\), suy ra \(AM = BN\).Hình bình hành \(ABMN\) có \(AM = BN\) nên \(ABMN\) là hình chữ nhật Suy ra \(\widehat {ABM} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.Dễ thấy, nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(BC = 2AB\) thì \(PMQN\) là hình vuông.Vậy điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) để \(PMQN\) là hình vuông là hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(BC = 2AB\).d)    Ta có: \(BM = AB\) nên \(BM = 2cm\)Do \(ABMN\) là hình thoi nên \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAN}\)Suy ra \(\widehat {BAN} = 2\widehat {MAD} = 60^\circ \)Tam giác \(ABN\) có \(AB = AN\) và \(\widehat {BAN} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABN\) đều.Suy ra \(BN = AN = AB = 2cm\)Do \(P\) là trung điểm của \(BN\) nên \(BP = NP = \frac{{BN}}{2} = 1cm\)Trong tam giác \(BMP\) vuông tại \(P\), ta có: \(B{M^2} = B{P^2} + M{P^2}\)Suy ra \(M{P^2} = B{M^2} - B{P^2} = 3\). Do đó \(MP = \sqrt 3 \) cmDo \(PMQN\) là hình chữ nhật nên diện tích của \(PMQN\) là:\(MP.NP = \sqrt 3 .1 = \sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).