Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\). Lấy điểm \(M\) thuộc đường chéo \(BD\). Kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\),\(MF\) vuông góc với \(AD\) tại \(F\). a)     Chứng minh: \(DE = CF;DE \bot CF\). b)    Chứng minh ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm. c)     Xác định vị trí của điểm \(M\) trên đường chéo \(BD\) để diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là giao điểm của \(DE\) và \(CF\), \(K\) là giao điểm của \(CM\) và \(EF\).Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có:\(\widehat {DAB} = 90^\circ ,CD = DA,\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^\circ \)a)     Ta chứng minh được tam giác \(FDM\) vuông cân tại \(F\).Suy ra \(FM = DF\)Tứ giác \(AEMF\) có \(\widehat {MFA} = \widehat {FAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật. Suy ra \(AE = FM\).Do đó \(AE = DF\) (vì cùng bằng \(FM\))\(\Delta ADE = \Delta DCF\) (c.g.c). Suy ra \(DE = CF\), \(\widehat {AED} = \widehat {DFC}\).Trong tam giác \(ADE\) vuông tại \(A\), ta có: \(\widehat {AED} + \widehat {ADE} = 90^\circ \)Suy ra \(\widehat {DFC} + \widehat {ADE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DFH} + \widehat {FHD} = 90^\circ \). Từ đó ta tính được \(\widehat {DHF} = 90^\circ \). Vậy \(DE \bot CF\).b)    Tương tự câu a, ta chứng minh được \(BF \bot CE\).\(\Delta ABM = \Delta CBM\) (c.g.c). Suy ra \(AM = CM\). Mà \(EF = AM\) (vì \(AEMF\) là hình chữ nhật) suy ra \(EF = CM\). \(\Delta DEF = \Delta FCM\) (c.c.c). Suy ra \(\widehat {DEF} = \widehat {FCM}\) hay \(\widehat {FEH} = \widehat {FCK}\)Trong tam giác \(HEF\) vuông tại \(H\), ta có \(\widehat {FEH} + \widehat {EFH} = 90^\circ \)Suy ra \(\widehat {FCK} + \widehat {EFH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {FCK} + \widehat {KFC} = 90^\circ \). Từ đó, ta tính được \(\widehat {CKF} = 90^\circ \). Do đó, \(CK \bot EF\).Trong tam giác \(CEF\), ta có: \(DE \bot CF,BF \bot CE,CM \bot EF\) nên ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) là các đường cao của tam giác \(CEF\). Vậy ba đường thẳng \(DE,BF,CM\) cùng đi qua một điểm.c)     Chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) là: \(2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {DF + AF} \right) = 2AD\)Mà \(AD\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \(AEMF\) không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất khi \(AEMF\) là hình vuông. Suy ra \(ME = MF\).Khi đó \(\Delta BEM = \Delta DFM\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(BM = DM\) hay \(M\) là trung điểm của \(BC\)Vậy với \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì diện tích của tứ giác \(AEMF\) lớn nhất.