Đề bài

Giải các phương trình sau: a) \(\frac{2}{{x + 1}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{3}{{{x^3} + 1}}\); b) \(\frac{{x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{2}{{2x + 1}} = \frac{{2{x^2}}}{{4{x^2} - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định \(x \ne  - 1\). Quy đồng và khử mẫu ta được: \(\frac{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\), suy ra: \(2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3\) (1) Giải phương trình (1): \(2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2x\left( {x + 1} \right) = 3\) \(2{x^2} - 2x + 2 - 2{x^2} - 2x = 3\) \( - 4x + 2 = 3\) \( - 4x = 1\) \(x =  - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \frac{1}{4}\). b) Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\). Quy đồng và khử mẫu ta được: \(\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{2{x^2}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\), Suy ra: \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right) = 2{x^2}\) (1) Giải phương trình (1): \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x - 1} \right) = 2{x^2}\) \(2{x^2} + 3x + 1 - 4x + 2 = 2{x^2}\) \(2{x^2} - 2{x^2} + 3x - 4x =  - 1 - 2\) \( - x =  - 3\) \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3\).