Đề bài

Người ta vẽ bản quy hoạch của một khu định cư được bao xung quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là 900m, 1 200m và 1 500m (H.9.27). a) Tính chu vi và diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác trên. b) Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Vì \({900^2} + 1\;{200^2} = 1\;{500^2}\) nên tam giác này là tam giác vuông. Diện tích phần đất giới hạn bởi tam giác trên là: \(S = \frac{1}{2}.900.1\;200 = 540\;000\left( {{m^2}} \right)\) Chu vi phần đất giới hạn bởi tam giác trên là: \(900 + 1\;200 + 1\;500 = 3\;600\left( m \right)\) b) Để khách sạn cách đều cả ba con đường thì khách sạn đó trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác giới hạn phần đất. Gọi tam giác giới hạn phần đất là ABC, trong đó, \(AB = 900m,\;AC = 1200m,\;BC = 1500m\). Do đó, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Từ I kẻ ID vuông góc với AB tại D, IE vuông góc với AC tại E, IF vuông góc với BC tại F. Khi đó, \(ID = IE = IF\). Vì ID vuông góc với AB tại D, IE vuông góc với AC tại E nên \(\widehat {IEA} = \widehat {IDA} = {90^o}\). Tứ giác ADIE có: \(\widehat {EAD} = \widehat {IEA} = \widehat {IDA} = {90^o}\) nên tứ giác ADIE là hình chữ nhật. Mà \(ID = IE\) nên tứ giác ADIE là hình vuông. Do đó, \(ID = IE = AE = AD = r\) Ta có: \(EC = AC - AE = 1200 - AE = 1200 - r\), \(BD = AB - AD = 900 - r\) Vì CE và CF là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên CE = CF. Vì BF và BA là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên BD = BF. Mà BF + CF = BC = 1500 nên ta có: \(900 - r + 1200 - r = 1500\) \(2100 - 2r = 1500\) \(2r = 600\) \(r = 300\) Do đó, khách sạn cách mỗi con đường 300m.