Đề bài

Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức \(Q(t) =  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100\),

trong đó Q được tính theo \({m^3}\)/phút, t tính theo phút, \(0 \le t \le 20\) (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016𒈔). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 \({m^3}\)/phút thì cảnh báo lũ được đưa ra. Trong thời gian theo dõi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điểm nào?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(Q(t) =  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100\) với \(t \in [0;20]\). Ta có \(Q'(t) =  - \frac{3}{5}{t^2} + 10t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{50}}{3}\end{array} \right.\) Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của lưu lượng nước là \(\frac{{15200}}{{27}}\) \({m^3}\)/phút tại thời điểm \(t = \frac{{50}}{3}\) phút. Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 \({m^3}\)/phút, khi đó: \(Q(t) \ge 550 \Leftrightarrow  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100 \ge 550 \Leftrightarrow  - \frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} - 450 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le 5 - 5\sqrt 7 \\15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7 \end{array} \right.\) Mà \(t \in [0;20]\) nên \(15 \le t \le 5 + 5\sqrt 7 \). Vậy tại thời điểm \(t \in \left[ {15;5 + 5\sqrt 7 } \right]\) phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.