Đề bài

Xét biểu thức \(P = \frac{{x\sqrt x  - x + 2\sqrt x  + 4}}{{x\sqrt x  + 8}}\) với \(x \ge 0\). a) Chứng minh rằng \(P = 1 - \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\). b) Tính giá trị biểu thức đã cho tại \(x = 64\).

Lời giải chi tiết

a) Với \(x \ge 0\) ta có: \(P = \frac{{x\sqrt x  - x + 2\sqrt x  + 4}}{{x\sqrt x  + 8}}\) \( = \frac{{x\sqrt x  + x - 2x - 2\sqrt x  + 4\sqrt x  + 4}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {2^3}}}\) \( = \frac{{x\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 2\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)}}\) \( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 4} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\) \( = \frac{{\sqrt x  + 2 - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\) \( = 1 - \frac{1}{{\sqrt x  + 2}}\) (đpcm) b) Với \(x = 64\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào P ta có: \(P = 1 - \frac{1}{{\sqrt {64}  + 2}} = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\).