Đề bài

Cho tam giác ABC \(\left( {AB < AC} \right)\) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng: a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp. b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Vì ID, IE, IF là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên \(IF \bot BF,ID \bot BC,IE \bot AC\) Do đó, \(\widehat {IFB} = \widehat {IDB} = \widehat {IDC} = \widehat {IEC} = {90^o}\) Suy ra, \(\Delta \)IFB vuông tại F, \(\Delta \)BID vuông tại D nên 4 điểm I, B, D, F thuộc đường tròn đường kính BI. \(\Delta \)BXI vuông tại X nên X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, 5 điểm I, B, D, F, X thuộc đường tròn đường kính BI. Do đó, tứ giác DBFX nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có: tứ giác DCEY là tứ giác nội tiếp. b) Vì \(\Delta \)BXC vuông tại X, \(\Delta \)BYC vuông tại Y nên 4 điểm B, X, Y, C thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó, \(\widehat {YXC} = \widehat {YBC}\) (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung YC). Xét đường tròn đường kính BI có: \(\widehat {FXB} = \widehat {FDB}\) (2) (góc nội tiếp cùng chắn cung BF). Vì BF và BD là tiếp tuyến của đường tròn (I) nên \(BF = BD\) nên B thuộc đường trung trực của DF. Lại có: \(IF = ID\) (bán kính đường tròn (I)) nên I thuộc đường trung trực của DF. Do đó, BI là trung trực của DF. Suy ra, \(BI \bot FD\). Do đó, \(\widehat {YBC} + \widehat {FDB} = {90^o}\) (3). Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\widehat {FXB} + \widehat {YXC} = {90^o}\) Do đó, \(\widehat {FXY} = \widehat {FXB} + \widehat {YXC} + \widehat {BXC} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\). Do đó, 3 điểm F, X, Y thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta có: 3 điểm X, Y, E thẳng hàng. Vậy X, Y, E, F thẳng hàng.